公辦編外老師就是合同工，如果合同到期后沒有續約的話，等于被辭退了。如果有編制的話就不會被辭退的。但是用工單位應當提前一個月告知。

《中華人民共和國勞動合同法》

第四十條 有下列情形之一的，用人單位提前三十日以書面形式通知勞動者本人或者額外支付勞動者一個月工資后，可以解除勞動合同：

(一)勞動者患病或者非因工負傷，在規定的醫療期滿后不能從事原工作，也不能從事由用人單位另行安排的工作的；

(二)勞動者不能勝任工作，經過培訓或者調整工作崗位，仍不能勝任工作的；

(三)勞動合同訂立時所依據的客觀情況發生重大變化，致使勞動合同無法履行，經用人單位與勞動者協商，未能就變更勞動合同內容達成協議的。

第四十五條 勞動合同期滿，有本法第四十二條規定情形之一的，勞動合同應當續延至相應的情形消失時終止。但是，本法第四十二條第二項規定喪失或者部分喪失勞動能力勞動者的勞動合同的終止，按照國家有關工傷保險的規定執行。